DirectX12 3D游戏开发实战 第一章(向量集正交化；点乘，叉乘定义) ... ...

1.1 向量

1.1.1 向量与坐标系

将向量尾平移到坐标轴原点，就可以用向量头部坐标确定向量，记作v=(x,y,z)，计算机就可以以三个浮点数来表示一个向量。

向量v在不同坐标系，的坐标不同，即同一向量在不同坐标系中有不同的坐标表示

这意味着:每当我们根据坐标来确定一个向量时，其对应坐标总是相对于某一参考系而言

我们需要记录向量在每一种坐标中的对应坐标，与需要知道如何将向量在不同空间下进行转换

1.1.2 左手坐标系与右手坐标系

Direct3D 采用左手坐标系。

1.1.3 向量的基本运算

分别有向量的相等，加法，减法，标量乘法运算，四种运算，如下图。

1.2 长度和单位向量

使用毕达哥拉斯定理我们能得到向量模计算公式为:

不关心长度，仅表示方向。我们希望使该向量长度为1.我们需要将向量进行归一化(将向量变为单位长度)

方法为将向量除以它的模:

1.3 点积

点积的定义

使用余弦定理计算两单位向量的cos值

正交投影：

向量v在向量n方向上的正交投影

当n为单位向量时，可以推出 $𝑘=(||𝑣||||𝑛||𝑐𝑜𝑠𝜃)=𝑣\cdot 𝑛$ 解释了 $𝑣\cdot 𝑛$ 的几何意义

我们称p为向量v落在向量n上的正交投影，它被表示为：

$𝑝=𝑝𝑟𝑜{𝑗}_{𝑛}(𝑣)=(𝑣\cdot 𝑛)𝑛$

将v看作一个力，可以认为p是力v在n方向上的奋力，同理向量 $𝑤=𝑝𝑒𝑟{𝑝}_{𝑛}(𝑣)=𝑣-𝑝$ 就是力v在n的正交方向上的分力。

可以观察到 $𝑣=𝑝+𝑤=𝑝𝑟𝑜{𝑗}_{𝑛}(𝑣)+𝑝𝑒𝑟{𝑝}_{𝑛}(𝑣)$ ,也就是一个向量可以分解为两个互相正交的向量p和w

正交投影的一般公式:

n不为单位向量时我们可以吧n替换为 $𝑛/||𝑛||$ 得到一般性的投影公式

$𝑝=𝑝𝑟𝑜{𝑗}_{𝑛}(𝑣)=(𝑣\cdot 𝑛/||𝑛||)𝑛/||𝑛||=(𝑣\cdot 𝑛)/||𝑛|{|}^{}$